18 (신호 및 시스템)에일리어싱(2)

 

에일리아스(Aliases)의 개념

에일리아스(alias) 단어 그 자체의 의미는 “같은 사람 혹은 같은 것에 대한 두 가지 이름”, 즉 “별칭”이다.

이것은 신호처리에서, 서로 다른 종류의 이산시간 정현파 파형이 서로 같은 신호값을 정의할 수 있다는 현상을 지칭한다. 이 말의 의미를 설명하겠다.

 

정현파

$$x_1[n] = cos(0.4\pi n) $$ 은 아래 그림의 (a)이다. 

 

이는 주파수가 0.4 π인 신호를 나타내는 신호이다. 이제 다른 정현파 수식인

$$ x_2[n] = cos(2.4\pi n) $$를 살펴보겠다. 이는 2.4π의 주파수를 가진 다른 신호이다.  그리고 아래와 같이 정의할 수 있다.

 

x2 [n] = cos(2.4πn) = cos(0.4πn + 2πn) = cos(0.4πn)

(cos(θ + 2π ) = cos(θ ))

 

** 그림 (b)에 대한 설명. 에일리어싱의 예시 : 같은 샘플을 통해 그려진 두 개의 연속시간 신호. 이 샘플들은 서로 다른 주파수를 가진 두 개의 코사인 신호에 속하지만, 코사인 함수들은 n = 0, 1, 2, 3,...에서 동일한 값을 갖습니다. 샘플링 후 고주파가 저주파와 구별되지 않을 때 에일리어싱이 발생한다.

 

 

이 수식이 성립할 수 있는 이유는 2πn이 코사인 함수의 정수 배수 이기 때문이다. 다시말해, x2[n]의 그래프는 x1[n]의 그래프와 동일하며, 이 현상을 에일리아싱이라고 부른다. 위그림은 이 두 신호인

$$x_1[n] = cos(0.4\pi t)$$

와

$$x_2[n] = cos(2.4\pi t)$$

의 샘플링 플롯(Stem plot)이 동일함을 보여준다. 또한 그림을 를 봤을 때, 이 두 신호가 Ts=1로 샘플링 될 때 x1[n]가 x2[n]을 얻게 된다. 그림에서 알 수 있듯이 이 신호들의 값은 정수값 n에서 동일하다. 이 지점에서만큼은 x2[n]= x1[n]이며 이를 alias(별칭)라 부를 수 있다.

 

X2[n]의 주파수는 ωˆ = 2.4π 이고, x1[n]의 주파수는 ωˆ = 0.4π.이다. 지금 상황을 모두 볼 때 주파수 2.4 π가 0.4 π의 별칭(alias)이라고 말한다. 아래 다른 종류의 alias신호 예제 문제를를 보자.

 

예제

7 cos(8.4πn − 0.2π )는 7 cos(0.4πn − 0.2π )의 alias. 7 cos(0.4πn − 0.2π )의 또 다른 alias를 찾아보아라.

  

우리는 이미 0.4π에 2π의 정수배를 더하면 alias를 얻을 수 있음을 확인하였다. 따라서 0.4π의 또다른 alias은 아래와 같다.

ωˆ = 0.4π + 2π = 0, 1, 2, 3,...

기본 신호는 −π < ωˆ ≤ π 구간 내에 있다. 이 경우, 기본 신호는 0.4π입니다. 당연히 알겠지만 이것 말고도 더 많은 alias가 있다. 삼각 함수 항등식은 cos(2π − θ ) = cos(θ )을 성립하므로 x1[n] = cos(0.4πn)에 대한 또 다른 alias을 다음과 같이 생성할 수 있다:

 

x3[n] = cos(1.6πn) = cos(2πn − 0.4πn) = cos(0.4πn)

 

x3[n]의 주파수는 1.6π로 정리할 수 있다. 이것의 alise는 또 아래와 같이 정리할 수 있다.

 

$$\hat{w_l} = -0.4\pi + 2\pi l$$ 

$$ l = 1,2,3,…$$

 

음의 주파수를 가진 alias는 다음번에 한번 더 짚고 넘어갈 것이다. 우선 수식적으로 정리하면 아래와 같다.

 

$$ A cos((2\pi - \hat{w})n - \phi) = A cos(2\pi n - \hat{w}n - \phi)$$

$$ = Acos(-\hat{w}n - \phi)$$

$$ = Acos(\hat{w}n + \phi) $$

 

지금까지 설명한 것들을 요약해 보면 정현파의 alias에 관한 특징은 아래와 같다.

 

$$ \hat{w}_0, \hat{w}_0+2\pi l, 2\pi l-\hat{w}_0$$

$${l = integer}$$

 

다음 신호들은 모두 n에 대해 동일한 값을 가진다.

$$ Acos(\hat{w}_0 n+ \phi) = A cos((\hat{w}_0 + 2\phi l)n + \phi) $$

$$ = Acos((2\pi l - \hat{w}_0)n - \phi) $$

 

샘플링과 에일리아싱(Aliasing)

에일리아싱 현상을 이해하면 연속신호의 샘플링과 구조를 이해하는데 꽤 많은 도움이 된다.

먼저 연속 시간 코사인 신호 x(t) = cos(ω0t)를 샘플링하면 다음과 같은 이산 시간 코사인 신호 x[n] = x(nTs) = cos(ωˆ 0n)가 된다. 여기서 ωˆ 0 = ω0Ts 이다. 앞으로의 장에서 보여줄 것이지만 기본 신호의 주파수는 항상 ωˆ 0이어야 한다. 즉,

 

 

가 성립되어야 한다.

 

위 수식이 성립하지 않으면 우리는 “에일리아싱 현상이 발생했다”라고 한다. ‘에일리아싱’이라는 용어를 사용할 수 있는 경우는, 신호를 샘플링할 때 샘플링 주파수가 충분하지 않아 결과적으로 원 신호가 아닌 원신호보다 낮은 주파수의 신호가 출력이 되는 것이라고 이해할 수 있다.

샘플링에서 에일리어싱이 발생하면 원신호를 알기 어렵다. 따라서 연속시간 신호를 샘플링하는 시스템을 설계할 때 일반적으로 에일리어싱을 피하는 것이 바람직하다.