17 (신호 및 시스템)정현파의 샘플링 신호, 에일리아싱(1)

 

정현파의 샘플링 신호

 

정현파 신호는 연속시간신호의 하나의 예이다. 이 신호에 대한 수학적 수식은 간단하게 나타낼 수 있고 샘플링 효과를 쉽게 이해할 수 있기 때문에 이를 샘플링 이론을 이해하기 위한 재료로 사용할 것이다. A cos(ωt + ϕ)의 사인파를 샘플링하면

 

$$x\left [ n \right ] = x(nT_s )$$

$$= Acos(wnT_s + \phi) $$

$$= Acos(\hat{w}n+\phi)…(4.2)$$ 

가 된다.

 

여기서 우리는 w^를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

Normalized Radian Frequency

$$ \hat{w}\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} wT_s =\frac{w}{f_s} $$

 

수식 (2)의 신호 x[n]은 이산 시간 코사인 신호이며, ωˆ은 해당 이산 시간 주파수이다. 우리는 ω 위(텍스트에서는 뒤)에 "모자(hat, ^)"를 사용하여 이것이 새로운 유형의 주파수 변수임을 시사할 것이다. 이는 샘플링 주파수에 대한 연속 시간 라디안 주파수의 정규화된 버전이다.

ω의 단위는 rad/s이므로 ωˆ = ωTs의 단위는 라디안이다. 일단 이산 신호를 구성하기 위한 샘플이 x(t)에서 채취되면 시간 정보는 더 이상 신호의 일부가 아니다. 시간에 대한 개념이 없기 때문에 이산 시간 신호 x[n]는 숫자의 시퀀스(즉, 수열)일 뿐이며, 이 숫자들만으로는 이를 얻는 데 사용된 샘플링 기간 Ts에 대한 정보가 없다. 즉, 샘플링주기에 대한 정보를 갖고 있지 않다.

샘플링 주기는 이산신호에서 시간을 이해하기 위해 필요로 하는 정보를 가지고 있다.

 

 하지만 우리는 Ts를 조율해서 이산 시간 신호를 연속 시간 신호처럼 비슷하게 만들 수 있다. 하지만 역으로 Ts를 잘못 조율하면 생플링 하기 이전 원신호를 알기 어려운 이산시간신호를 얻을 수 있다.

그리고 Ts와 w가 전혀 다르더라도 똑 같은 w^값을 얻는 상황도 종종 발생한다.

예를 들어, ω = 200π rad/s이고 Ts = 0.5 ms이면 ωˆ = 0.1π rad이다. 반면에, ω = 1000π rad/s이고 Ts = 0.1 ms이면 ωˆ도 여전히 0.1π rad이다.

 

 

 

 

예를 들어 위 시진의 (a)는 주파수가 f0 = 100 Hz인 연속 시간 사인파 x(t) = cos(200πt)를 보여준다.  (b)는 샘플링 주기가 Ts = 0.5 ms인 샘플을 보여준다. 이 시퀀스는 식 x[n] = x(nTs) = cos(0.1πn)에 의해 주어지므로 이산 시간 라디안 주파수는 (ω0)ˆ = 0.1π이다. 이 예제에서의 샘플링 속도는 fs = 1/Ts = 2000 샘플/초이다. 샘플 값은 (b)와 같이 이산점으로 플로팅된다.

 

이 점들은 연속 곡선으로 연결되지 않는다. 왜냐하면 샘플 값 사이의 신호 값에 대한 직접적인 정보가 없기 때문이다. 이 경우, 샘플링 주파수 (2000 샘플/초)가 연속 신호의 주파수(100 Hz)보다 20배 높기 때문에 신호 주기당 20개의 샘플 값이 있다.

 

이 이산 시간 플롯에서는 샘플 값만으로도 연속 시간 코사인 파형을 시각적으로 재구성하는 데 충분해 보인다. 그러나 샘플링 속도에 대한 정보가 없으면 아날로그 주파수 ω가 무엇인지 알 수 없다.

 

(c)에 나타난 또 다른 샘플링 예제이다. 이 경우, 100 Hz 사인파는 낮은 비율로 샘플링되었다 (fs = 500 샘플/초), 그 결과로 생성된 샘플 시퀀스는 x[n] = cos(0.4πn)이다. 이 경우, 이산 시간 라디안 주파수는 ωˆ = 0.4π다. 샘플 간 시간은 Ts = 1/fs = 2 ms이므로 연속 시간 신호의 주기당 샘플은 단 5개이다. 원래의 파형이 중첩되지 않은 상태에서는 원래의 연속 시간 사인파의 정확한 파형을 구별하기 어렵다는 것을 알 수 있다.

 

예제

샘플링 속도가 fs = 1000 샘플/초이고, 연속시간 신호가 x(t) = cos(ω t)일 때, 그림(c)에 표시된 이산시간 신호와 동일한 샘플 시퀀스를 제공하는 ω의 값은 무엇인가?

 

위 예제의 풀리는 꽤 간단한 질문을 하는 것처럼 보인다. 왜냐하면

$$ \hat{w}\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} wT_s =\frac{w}{f_s} $$

를 이용해서 fs와 w^를 이용해 w를 구할 수 있기 때문이다. 이에 대한 풀이를 이용하면 ω = (0.4π )fs = 400π rad/s 를 쉽게 얻을 수 있다. 하지만 이게 유일한 답일까? 다음 챕터에서 배울 에일리어스(alias)를 이해하면 생각이 바뀔 수도 있다.