15 (신호 및 시스템)Chirp신호 예시를 통한 FM Modulation 이해

 

들어가며..

 

이전 챕터에서는 시간의 함수로 주파수가 지속적으로 변하는 경우 음악적으로 아름다운 소리를 만들 수 있다는 점을 보여주었다. 이 절에서는 주파수가 지속적으로 시간에 따라 변하는 신호를 생성하는 경우를 보여줄 것이다.

 

예를 들어, 우리가 주파수 범위를 늘리거나 줄일 수 있다고 가정해 보겠다. 예를 들어 우리는 300 Hz에서 시작하여 800 Hz까지 주파수가 증가하는 신호를 만들고 싶을 수 있다. 이러한 신호를 생성하는 한 가지 방법은 300 Hz에서 시작하여 800 Hz에서 끝나는 여러 개의 짧은 길이의 고정 주파수 사인파를 연결하는 것이다.

 

아래 그림은 주파수가 증가하는 시간 파형을 보여준다. t = 4, 8, 12, 16 및 20 ms에서의 주파수 점프를 주목해 보자. 이러한 점프는 각 짧은 길이의 사인파 신호에 대해 ϕ = 0을 사용하기 때문이다.

 

 

 

 

이 그림을 보면 주파수 증가(Stepping)가 연속적이지 않으며 많은 주파수 증가지점이 있어도 부드럽게 들리지 않는다. 게다가, 이 방법은 각 짧은 길이의 사인파 신호들의 연결 단계에서 위상을 조정하지 않으면 이들 사이의 경계가 연속적이지 않으므로 구현하기가 힘들다.

 

여기서 "칩(chirp)" 신호는 주파수가 선형적으로, 지속적으로 변하는 신호이다. 칩 수식은 복소 지수 관점에서 유도될 수 있다. 우선, 일정한 주파수를 가진 사인파는 복소 (회전하는) 페이저의 Real 부분임을 상기하자.

 

$$x(t) = Real\left[Ae^{j(w_0 t + \phi)}\right] = Acos(w_0t + \phi) ...(0)$$

 

그리고 복소 지수의 각도가 아래와 같이 코사인의 인수와 같음을 알아보자. 우리가 사인파를 더 일반화하여 다음과 같이 쓰는 신호를 고려볼 것이다.

 

$$ x(t) = Real\left[Ae^{j\psi (t)}\right] = Acos(\psi (t)) ...(1)$$

 

여기서 ψ(t)가 어떤 시간에 대한 함수를 나타낼 때, 우리는 ψ(t)를 코사인의 각도 함수로 참조한다. 예를 들어, 우리는 이차 각도 함수를 가진 신호를 다음과 같이 정의하여 만들 수 있다.

 

 $$\psi (t) = 2 \pi ut^2 +2\pi f_0t + \phi ...(2)$$

 

 

이제 이 각도에 대한 함수로부터 주파수의 변화를 얻는 방법을 고려해 보자. 식 (0)의 고정 주파수 사인파의 경우, 상수 ω0는 각도 함수의 변화율이며, 이는 각도 함수의 시간 미분을 통해 구할 수 있다. 이러한 미분 개념은 (1)의 신호에 대해 순간 주파수를 각도 함수의 미분으로 정의함으로써 일반화된다.

 

$$w_i (t) = \frac{d}{dt}\psi (t)   (rad/s)...(3)$$

 

이것은 ψ(t)의 순간 기울기이다. 단위는 rad이며, 따라서 wi(t)의 단위는 rad/s이다. 하지만 우리는 보통 주파수를 Hz로 표기하곤 한다. 이를 위해선 2 π로 나눠야 하는데 아래와 같이 정리할 수 있다.

 

$$f_i(t) = \frac{1}{2\pi}\frac{d}{dt}\psi(t) (Hz)...(4)$$

 

x(t)의 각도 함수가 (2)와 같이 이차 함수이면, 도함수(4)를 취하면 시간에 따라 선형으로 변하는 주파수를 얻게 된다.

 

$$ f_i(t) = 2ut + f_0 ...(5)$$

 

시간에 따라 변하는 각도 함수(2)에 의해 생성되는 주파수 변화는 주파수 변조(FM)라고 하며, 이러한 신호는 선형 FM 신호라고 한다. 마지막으로, 주파수의 선형 변화(5)는 새의 지저귐과 비슷한 소리를 만들어낼 수 있기 때문에 , 가끔 칩 신호(chirp signals) 또는 단순히 chirps로 불린다.

 

이 과정은 원하는 주파수 신호를 채택하기 위해 위해 반대로 진행될 수 있다. (3)은 순간 주파수가 각도 함수 ψ(t)의 도함수임을 명시하기 때문에, (1)에서 필요한 실제 각도 함수는 ωi(t)의 적분을 통해 얻어질 수 있다.

 

예제 ) Chirp 수식 합성

 

f1 = 300 Hz에서 f2 = 800 Hz로 0.5초 동안의 주파수 스윕(변화)을 합성하려고 한다. 여기서 시작 및 종료 시간은 t = 0, t = T2 = 0.5 s 이다. 먼저, 시간에 따라 변하는 주파수에 대한 공식을 작성해야 한다.

 

$$f_i(t) = \frac{f_2-f_1}{T_2}t + f_1 = \frac{800-300}{0.5}t + 300$$

 

그런 다음 각도에 대한 함수를 얻기 위해 ωi(t) = 2πfi(t)를 적분해야 한다.

 

$$\psi(t) = \int_{0}^{t} 2 \pi f_i(u)du $$

$$= \int_{0}^{t} 2\pi(1000u + 300)du $$

$$=1000 \pi^t + 600\pi t + \phi$$

 

여기서 위상, ϕ = ψ(0),는 적분 상수이다. 따라서 시간 영역의 Chirp 신호는

 

$$x(t)=cos(1000 \pi^t + 600\pi t + \phi)$$

 

이다.

 

A Closer Look at Instantaneous Frequency

 

각도 함수의 도함수가 순간 주파수인 이유를 이해하는 것은 어려울 수 있다. 다음 실험은 이에 대한 이해를 제공한다

 

 

(a) 다음 매개변수를 사용하여 위 예제의 방법을 사용하여"치르프(Chirp)"신호를 정의한다.

f1 = 300 Hz

f2 = 800 Hz

T2 = 20 ms

다시 말해, 지정된 500 Hz 주파수 범위를 20 ms 동안 스윕하는 x(t)를 정의하기 위해 (2)에서 μ와 f0를 결정한다.

 

(b) (a) 단계에서 합성된 신호의 그림을 그린다. 위 그에서 이 그림은 (b)이다. 이 Chirp 신호가 올바른 주파수 내용을 가지고 있는지 확인하는 것은 꽤 어렵다. 그러나 이 실험의 나머지 스텝에서는 도함수가 "올바른" 순간 주파수의 정의임을 보여준다. 이를 위해 약 5.45 ms와 16 ms의 두 가지 다른 시간에 대한 두 개의 양의 피크의 위치를 선택해 본다. 이 위치는 그림 (b)에 표시된 것이다.

 

(c) 먼저, t = 5.45 ms에서 양의 피크를 가져야 하는 450 Hz 사인파, x1(t) = cos(900π(t − 0.00545))를 그린다. 이 상수 주파수 사인파는 그림(a)에 나와 있다.

 

(d) 다음으로, t = 16 ms에서 양의 피크를 가져야 하는 700 Hz 사인파, x2(t) = cos(1400π(t − 0.016))를 생성하고 그린다. 이 상수 주파수 사인파는 그림 (c)에 나와 있다.

 

(e) 이제 그림 3-28의 세 신호를 Chirp의 주파수 내용과 비교한다. 시간 범위 4에서 7 ms까지의 Chirp의 주파수에 집중해 보자. 이 시간 범위에서 450 Hz 사인파가 치르프와 거의 일치하는 것을 알 수 있다.

 

(f) 마찬가지로, Chirp의 주파수가 거의 700 Hz와 같은 16 ms 주변(14.5에서 17.5 ms)도 비슷한 경향을 보임을 확인할 수 있다.