12 (신호 및 시스템)정현파 거듭제곱, 비주기신호 특징과 주파수 성분

정현파의 거듭제곱 연산

 

지금까지 각 사인파를 복소 지수 형태로 확장하여 사인파의 곱의 스펙트럼을 만들었다. 복소 지수 형태를 곱한 다음 지수를 단순화하여 각 복소 지수를 합으로 나타낼 수 있었다. 그런 다음 각 복소 진폭을 해당하는 주파수와 연관시켜 스펙트럼을 얻을 수 있었다.

 

이 같은 접근 방식은 사인파를 거듭제곱을 포함한 다른 구성에도 사용할 수 있다. 주기적인 함수를 거듭제곱하면 것은 동일하거나 더 짧은 주기를 갖는 주기적인 함수를 얻게 된다. 이 점을 설명하는 간단한 예는 아래의 사인 세제곱 신호이다.

 

$$x(t) = sin^3(4 \pi t)$$

 

위 x$t$를 아래 형식의 복소 지수 합으로 표현하여 x$t$의 스펙트럼을 쉽게 만들어 보자. sin$·$에 대한 역 오일러 공식과 $a - b$^3에 대한 이항 전개를 사용하여 사인 세제곱 함수를 다음과 같이 합의 형태로 다시 쓸 수 있다.

 

$$x(t) = (\frac{e^{j4\pi t}-e^{-j4\pi t}}{2j})^3$$

$$=\frac{1}{-8j}(e^{j12\pi t}-3e^{j8\pi t}e^{-j4\pi t}+3e^{-j8\pi t}e^{j4\pi t} -e^{-j12\pi t})$$

$$=\frac{j}{8}e^{j12 \pi t} + \frac{-3j}{8}e^{j4 \pi t} +\frac{3j}{8}e^{-j4 \pi t} + \frac{-j}{8}e^{-j12 \pi t}$$

 

위 수식을 보면 라디안 주파수를 가진 네개의 항의 합임을 알 수 있다. ω = ±4π 및 ω = ±12π rad/s. gcd$4, 12$π = 4π이므로 기본 주파수는 ω0 = 4π rad/s (또는 F0 = 2 Hz)이다. 위 수식의 주파수는 기본 주파수의 첫 번째와 세 번째 고조파이다. 따라서 $3.21$에서 N = 3이고 T0 = 0.5s이다.위 수식의 계수는 고조파 번호 k를 기준으로 색인화되므로 A를 인덱싱 한다.

 

$$a_k =\begin{cases}0 & k = 0\\\mp j\frac{3}{8} & k =\pm 1 \\0 & k =\pm 2 \\\pm j\frac{1}{8} & k = \pm 3\end{cases}$$

 

이제 우리는 네 개의 영이 아닌 ak 구성 요소가 -6, -2, 2, 6의 네 개의 주파수에 위치한다는 것을 알았으므로 스펙트럼을 플롯할 수 있다. 아래 그림 $b$에서는 주파수에 따른 스펙트럼이 플롯되어 있으므로 세 번째 고조파는 6 Hz에 있으며, 두 번째 고조파가 누락되었다.

 

 

**그림 설명 : $a$ signal x$t$ = sin^3(4πt) 의 파형,복소 지수의 합으로부터 유도된 “사인 세제곱”신호의 스펙트럼. -6에서 +6 Hz 범위만 표시되었다. 이 범위를 벗어나면 스펙트럼은 제로이다. 각 스펙트럼 선의 복소 진폭은 해당 주파수, kF0에 대한 계수 ak와 같다.

 

 

비주기 신호의 예시

일련의 비조화적$No harmonic$인 주파수로 합성되는 경우 어떤 일이 벌어질까? sinusoidal synthesis 식인 아래 수식을 생각해 보면,이러한 경우에도 주파수가 더 이상 서로의 배수가 아니기 때문에 신호는 여전히 주기적이 아닐 것이다.

 

$$x(t) = a_0 + \sum_{k=1}^N2\mid a_k \mid cos(2 \pi f_k t + \angle a_k)$$

$$= a_0 + \sum{k=1}^{N}(a_k e^{j2 \pi f_k t} + a_k^* e^{-j2 \pi f_k t})$$

 

먼저, 기본 주파수 F0 = 10 Hz를 사용하여 a1 = 1, a3 = -1/3 및 a5 = 1/5로 하모닉 신호 xh$t$를 만든다.

 

xh$t$ = 2 cos$20πt$ – 2/3 cos$20π(3$t) + 2/5 cos$20π(5$t) …..$1$

 

 

아래 그림$a$, $b$는 xh$t$의 그림을 '스트립 차트' 형식으로 보여준다. 이 그림은 시간 신호의 2초를 담고 있는 세 개의 선으로 구성된다. 첫 번째 선은 t = 0에서 시작하고, 두 번째는 t = 2초에서, 세 번째는 4초에서 시작한다.

 

이렇게 하면 신호의 긴 부분을 볼 수 있으며, xh$t$가 기본 주기가 0.1초인 주기적인 것임을 명확히 알 수 있다. 여기서 우리의 목적으로는 주파수가 하모닉이기 때문에 신호가 주기적이며 주기가 0.1초임을 충분히 알 수 있다.

 

주파수가 조화적이지 않은 경우$Not harmonic$에 어떻게 되는지 설명하기 위해, xh$t$의 주파수와 약간 다르지만 복소진폭이 동일한 두 번째 신호를 만든다. xnh$t$를 세 개의 사인파의 합으로 정의하면:

 

xnh$t$ = 2 cos$20πt$ – 2/3 cos$20π(2 √ 2$t) + 2/5 cos$20π(3 √ 3$t) …..$2$

 

복소진폭은 $1$과 동일하지만 주파수는 무리수(irrational numbers)로 변경되었다(단위: Hz). 따라서 최대공약수도 없고 기본 주파수도 없다. 그림 $b$의 xnh$t$ 플롯은 확실히 주기적이지 않다. 이 신호에서 정확한 반복을 찾아내려고 노력할수록, 복소진폭만 동일하고 $a$의 파형과 약간만 다른 정도로만 이해할 수 있다.

 

$c$, $d$의 스펙트럼 플롯은 $a$와 $b$의 신호 간의 차이를 설명하는 데 도움이 된다. $c$에서는 주파수가 공통 주파수 F0 = 10 Hz의 정수 배수이므로 $a$의 파형은 주기적이며 주기는 T0 = 1/10 s인것을 확인할 수 있다. 반면 $b$의 파형은 주기적이지 않다. 왜냐하면 주파수가 무리수이고 약간 다르기 때문이다: 30 대신 20√2 ≈ 28.28, 50 대신 30√3 ≈ 51.96 으로 삼았다. 이러한 약간의 주파수 변화는 시간 파형에 현저한 차이를 만든다.

 

주기성을 갖기 위해서는 "주파수 영역"의 기본 주파수가 필요하다. 기본 주파수가 없음을 확인하기 위해 20√2가 p번째 고조파이고, 30√3이 q번째 고조파라고 가정해 보자. 그런 다음 비율 $20√2$/$30√3$이 유리수 p/q가 되어야 한다. 그러나 그것은 불가능하므로, 우리는 기본 주파수가 없다고 결론지을 수 있다.