05 (신호 및 시스템)튜닝포크의 원리와 증명, 물리학 풀이

튜닝포크란

 

정현파와 비슷한 신호를 매우 간단하게 만들 수 있는 기구이다. 튜닝 포크를 세게 치면, 튜닝 포크의 날이 진동하고 다른 주파수 성분이 섞이지 않은 퓨어한 음이 방출된다. 이 음은 일반적으로 튜닝 포크에 새겨진 주파수를 갖고 있다. 보통 "A-440" 튜닝 포크를 접하기 쉬울 것이다. 왜냐하면 440 헤르츠(Hz)는 음계의 중간 C 위의 A의 주파수이며, 피아노 및 기타 악기를 조율하는 데 사용되는 것이기 때문이다.

 

무릎에 튜닝 포크를 치고 들어보자. 튜닝 포크에 지정된 주파수에 대한 명확한 소리를 들을 것이다. 튜닝 포크를 올바르게 친다면 소리는 상당히 오랫동안 지속된다. 그러나 테이블과 같은 단단한 표면에 튜닝 포크를 세게 칠 경우, 원하던 소리가 아닌 그것보다 더 높은 주파수의 소리를 들을 것이다. 그리고 그 상태에서 튜닝 포크 소리를 들으면 두 개의 음을 들을 수 있다. 높은 주파수의 소리는 급격하게 사라지고, 그 후에 우리가 듣고자 하는 원하는 낮은 주파수의 소리가 들릴 것이다.

 

튜닝 포크와 물리학

튜닝 포크 신호가 정현파 신호와 닮은 것은 우연일까? 아니면 진동과 정현파 사이에는 더 깊은 연관성이 있는 걸까? 이 절에서는 튜닝 포크 시스템의 간단한 분석을 제시하여, 튜닝 포크가 평형 위치에서의 타격을 받을 때 실제로 싸인파로 진동한다는 것을 보여줄 것이다. 튜닝 포크의 실린더 형태의 진동은 주변 공기 입자로 전달되어 우리가 들을 수 있는 음향 신호를 만들어낸다. 이 예시는 물리법칙과 수학적 설명으로 증명할 수 있다.

 

 

 

위 그림은 튜닝 포크와 그 소리 원리에 대한 그림이다. 튜닝 포크를 단단한 표면에 부딪힐 때 진동을 일으키고 pure한 음을 생성한다. 이제 튜닝포크의 물리적 행동을 묘사하는 방정식을 유도하여 소리가 생성되는 기본적인 메커니즘을 이해해 보자.

 

뉴턴의 제2법칙인 F = ma는 사인 또는 코사인 함수 또는 복소 지수 함수와 연관해서 미분 방정식으로 이어질 수 있다. 튜닝 포크가 부딪힐 때, 튜닝 포크의 봉 중 하나가 그림 (b)에 나와있는 것처럼 구부려진다.

 

타격이 지나치게 크지 않다면, 봉이 원래의 평형 위치로 되돌아가려는 경향이 있을 것이다. 이 움직임이 바로 훅의 법칙이다. 튜닝 포크는 매우 단단한 금속으로 만들어졌지만, 타격이 아주 작을 때에는 탄성의 성질을 가진다.

 

후크의 법칙은 복원력이 변형량과 직접적으로 비례한다고 명시한다. 그림 (b)에 나와 있는 것처럼 좌표계를 설정하면 봉의 변형은 x축을 따라 발생하며, 이것을

$$F = -kx$$

와 같이 쓸 수 있다.

 

k는 물질의 탄성 상수(즉, 강성)이다. 음수 부호는 튜닝 포크의 변위가 양의 x 방향으로 이동할 때 튜닝 포크를 중간 위치로 당기는 방향으로 작용함을 나타낸다. 이제 탄성으로 인한 이 복원력은 뉴턴의 제2법칙에 따라 가속도를 생성한다. 이는

$$F = ma = m\frac{{d^2}x}{d{t^2}}$$

라는 법칙에 따라 지배된다.

여기서 m은 질량이며, 위치 x의 시간에 대한 두 번째 미분은 x축을 따라 질량의 가속도이다. 이 두 힘이 서로 균형을 이루어야 하므로 (즉, 힘의 합이 제로여야 함), 우리는 모든 시간 t의 튜닝 포크의 운동 x(t)을 설명하는 2차 미분 방정식을 얻을 수 있다. 아래에 모든 시간 t의 튜닝 포크의 운동 x(t)을 설명하는 2차 미분 방정식을 명시해 놓았다.

$$m\frac{{d^2}x(t)}{d{t^2}} = -kx(t)...(1)$$ 

이 특정한 미분 방정식을 이해해 보자. 사인 및 코사인 함수의 미분 특성을 이용해 해결책으로 함수 $$x(t) = A cos ω_0t$$로 시도해 보자.여기서 파라미터 ω0는 결정해야 하는 상수이다.

 

x(t)의 2차 도함수는

 

$$\frac{{d^2}x(t)}{d{t^2}} $$

$$= \frac{d^2}{dt^2}(Acosw_0t) = \frac{d}{dt}(-w_0Asinw_0t) = -w_0^2Acosw_0t$$

 

이 된다.  코사인 함수의 2차 도함수가 동일한 코사인 함수에 일정한 상수(−ω2 0)를 곱한 것을 알 수 있다. 따라서 x(t)를 (1)에 대입하면

 

$$m\frac{{d^2}x(t)}{d{t^2}} =-kx(t)$$

 

$$-mw_0^2Acosw_0t = -kAcosw_0t$$

 

가 된다. 이 방정식은 모든 t에 대해 충족되어야 하므로, 방정식의 양쪽에 있는 cos ω0t의 계수가 동일해야 한다. 이로부터 다음 대수 방정식을 얻을 수 있다.

$$−m ω^2_0 = −k $$ 이 방정식은 ω0를 구하기 위해 풀 수 있으며, 다음과 같은 결과를 얻게 된다.

$$w_0=\pm\sqrt{\frac{k}{m}}...(2)$$

따라서 우리는 미분 방정식의 하나의 해가

 

$$x(t)=Acos(\sqrt{\frac{k}{m}}t)$$

 

인 것을 결론짓는다. 우리의 모델에서 x(t)는 튜닝 포크 봉의 운동을 설명한다. 따라서 우리는 봉이 사인 함수적으로 진동한다고 결론짓는다. 이 운동은 튜닝 포크 봉 근처의 공기 입자로 전달되어 음압의 작은 사인 함수적 변화를 만들어내어 음파를 구성한다. 이에 주파수에 대한 공식을 통해 두 가지 결론을 내릴 수 있다:

 

 

(a) 같은 질량을 가진 두 개의 튜닝 포크 중에서 강성이 높은 것이 더 높은 주파수를 만들어낸다. 이는 주파수가 (2)의 분자에 있는 √k와 비례하기 때문이다.

 

(b) 같은 강성을 가진 두 개의 튜닝 포크 중에서 더 무거운 것이 더 낮은 주파수를 만들어낸다. 이는 주파수가 (2)의 분모에 있는 질량의 제곱근, √m의 역수에 비례하기 때문이다.